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Category: Finance Education
Tags: bondsdurationfinanceinterestinvesting
Entities: Abramo FranchettiExcelMatteoSimple Tools for InvestorsTaylor series
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E quindi facciamo lo sviluppo in serie di Tailo del valore attuale netto del flusso di cedole e otteniamo un'approssimazione. Benvenuti sull'unico canale YouTube che l'intro non la prende dal video stesso, ma ve la rifare in originale.
Questo video parliamo di duration delle
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obbligazioni. Voi direte, "Vabbè, è quanto dura l'obbligazione?" Beh, più o meno circa quasi sì, ma non esattamente, perché la duration è un termine che sono inventati gli economisti che una ne pensano e 100 ne fanno, di cui quattro sono dei disastri, ma gli altri 99 sono
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ottime per classificare un po' la sensibilità dell'obbligazione ai tassi. Tutti vi diranno eh questa obbligazione è una duration di 7,4 anni.
Tu vai a guardare dura 9 anni, dici "Ma che relazione c'è? quanto dura e questa
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fantomatica duration. Ecco, in questo video andiamo a fare i conti precisi, precisi, precisi.
Non so ancora se metterò questo video dentro educati e finanziati avanzati oppure se lo riterrò troppo avanzato addirittura per la versione avanzata del corso educati
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finanziati. Infatti in questo video andremo a fare proprio sviluppo in serie di tao dei valori attuali netti dei flussi cedolari, quindi insomma andremo a fare dei conti che magari ai più possono non essere digeribili.
Vedremo poi dove deciderò di metterlo.
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In caso vi ricordo che esiste educati e finanziati avanzati di cui vi lascio il link qui sempre che io mi ricordi di scriverlo nelle note del video e vediamo subito la duration. Quindi, come funziona?
Stiamo parlando di un'obbligazione. Un'obbligazione ha un
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flusso di cedole, quindi ti dà delle cedole, di solito sono costanti, ma potrebbero anche non essere sempre la stessa cedola. Dopodiché ti dà un rimborso, di solito è 100, ma potrebbe anche non essere 100.
Stiamo parlando ovviamente sempre in centesimi. Non andatemi a fare le pulci
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con "Eh, ma io ho €7.000 di obbligazioni rimborsa e 100." No, basta, oh. E anche smentamo anche subito un altro un'altra domanda.
Le cedole si calcolano su 100, non sul valore di mercato in quel
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momento. Ok?
Quindi anche se il rimborso dovesse essere 97 e il valore di mercato l'obbligazione dovesse essere 82, se tu hai l'accento del 5% prendi 5 ogni €100 di valore nominale, non prendi 5% del
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valore di mercato o del valore di rimborso, quindi le le cedole si calcolano sempre su 100, quindi hai una serie di cedole e il valore finale. Ora normalmente come viene determinato il prezzo di un'obbligazione?
Sapete, c'è
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un legame tra il prezzo e quanto l'obbligazione rende, che è un legame, se stabilisci uno, l'altro viene determinato in automatico. Ora, in particolar modo, se tu stabilisci prezzo 100, l'obbligazione rende automaticamente
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esattamente la sua cedola se è costante. Quindi un'obbligazione che paga cedola al 4%.
Se tu decidi che il suo prezzo è 100, tu o il mercato decidete che il suo prezzo è 100, quell'obbligazione rende automaticamente il 4%. Stiamo parlando sempre in tutto il video di lordo, non parleremo mai di netto.
Questo è un
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video tecnico, non andiamo a affrontare le le mene fiscali italiane, ok? Però se il prezzo è 99, quant'è il suo rendimento?
Come lo calcoliamo? Oppure viceversa.
Se io voglio un rendimento del 7%, questa obbligazione mi dà delle cedole del 4, quanto devo
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pagarla l'obbligazione? Ora abbiamo già visto che in Excel esistono le funzioni che in italiano mi sembrano in inglese si chiamano price e yield y i l che ti calcano rispettivamente il prezzo di dell'azione dato il rendimento che vuoi
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e il rendimento il prezzo di un'obbligazione dato il rendimento che vuoi e il rendimento di un'obbligazione dato il suo prezzo e chiaramente dati anche tutti gli altri parametri. ti chiedo una marea di parametri.
In italiano mi sembra che si chiamino uno rend e l'altro boh, sarà prezzo ovviamente. Ecco, quindi potete anche
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sbizzarrirvi con queste due funzioni in Excel. Però gli economisti hanno subito notato che ci sono che se tu determini una volta che determini un prezzo e quindi un rendimento, se per caso i tassi di mercato, quindi
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sostanzialmente il rendimento che vuoi cambia, il prezzo immediatamente cambia e questa è una cosa ben nota che quando i tasti di mercato salgono il prezzo dell'obbligazione scende e quando i tasti di mercato scendono il prezzo dell'obbligazione sale. Ok?
La domanda è
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di quanto gli economisti ti gli economisti adesso non non basta col disico per gli economisti. Le persone che così parlano senza fare i conti, me compreso fino a poco fatti, diranno cala più o meno della duration moltiplicata per l'aumento di tasti.
Quindi se i
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tasti aumentano dell'1% e la duration è 7, il prezzo cala più o meno di 7. Questa cosa è un'approssimazione pesante che io mi sono sempre chiesto "Ma dov'è il calcolo matematico?
Voglio vedere i conti per controllare perché anche
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perché ogni tanto sentite parlare della famigerata duration modificata. Che cos'è questa duration modificata?
Perché che che che miglioria porta? Ecco, in questo video iniziamo coi conti.
Siete pronti? vi aspetta lo sviluppo in serie di Taylor.
Apprezzerete che le formule
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che io mi sono scritto a manina su un foglio, adesso non lo vedete perché c'è, ecco, a manina su un foglio, il buon CH GPT me l'ha convertite così perché effettivamente formule a manina scritte da me non erano particolarmente leggibili. Questo è come si determina il prezzo di un'obbligazione dato il suo
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rendimento. C1, C2, C3, CN sono le N cedole.
Stiamo supponendo che paghi cedola annuale. Ma i miei BTP pagano cedola?
semestrale. Quando sarò ministro delle finanze abolirò retroattivamente le cedole semestrali.
Proprio abolite
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retroattivamente. Tutte le cedole diventano di titoli di stato diventano annuali.
Non rompetemi le palle con sti conti. Ok?
È esattamente uguale semestrale. Dovete semplicemente mettere 0,5 1 2 eccetera eccetera eccetera.
Quindi stiamo supponendo che manchi esattamente
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un anno alla prossima cedola perché altrimenti dobbiamo iniziare a parlare di rate e si impazzisce. Ok?
Stiamo supponendo che questa obbligazione abbia un rendimento I, cioè noi vogliamo da questa obbligazione un rendimento I. Se volete potete vederla come i tassi di mercato in questo
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momento per le obbligazioni di durata n sono esattamente I, ok? E C1, C2, CN sono le cedole.
Di solito queste C1, C2, CN sono uguali, quindi è C la cedola. Ok?
Cioè, ho fatto l'ho scritto così
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perché mi per matematici piace generalizzare più il 100 è rimborso. Lo sostituirò dopo con una bella R.
Ho messo 100 perché se avessi messo subito R av introdotto troppe lettere e voi sapete che l'attenzione del dello studente è inversamente proporzionale al
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numero di lettere che metti nella formula, ok? Per questo ho messo 100.
Quindi supponiamo che adesso ci sia un tasso del 3%. Qua sotto avrò 1,03 alla 3 alla n.
Ok, queste altro non sono che i flussi di cassa attualizzati, cioè tra un anno
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prenderò la cedola C1, però siccome la prendo tra un anno, se avete fatto il corso educati finanziati, il video numero 6, quello sulla matematica finanziaria, questo è l'unico concetto di quel video. Se non avete capito questo di finanza, non avete capito una fava, perché è l'unica cosa che c'è in finanza questa.
Ok? Quindi tra un anno
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prenderò la cedola C1, però non mi vale C1 perché la prendo solo tra un anno, mi vale C1/ 1 + i^ 1, ok? Alla 1 perché passa un anno, cioè mi vale un po' di meno perché questo 1 + i è è magiore di
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1, resta 1 + i, ok? E quindi questo numero è più piccolo di C1, quindi mi vale un po' meno perché la vedrò solo tra un anno.
Ecco, quindi io considero che mi vale un po' meno. Ancora meno mi vale C2 che è divisa per 1 + quindi sarà
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siccome 1 + i è gi 1, 1 + i^ è 1 + i. Anche qui, se non lo sapete tornate in seconda scuola superiore, ok?
C2 / 1 + i^ e via avanti così fino all'ultima cedola che è la ennesima CN/ 1 + i^ n.
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Mannaggia a me, potevo mettere 7 anni e fare 7, così riducevo un altro numero. Ok, questa qui vale ancora meno perché la vedo solo tra 7 anni.
Se vi chiedete perché vale meno, beh, intanto perché non ho i soldi per 7 anni, poi perché per quei 7 anni avrei potuto investirli. Infine, perché io non sono mica sicuro che la prenderò questa cedola, magari
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l'emittente fallisce e Marameo, ok? Quindi più avanti andiamo più la cedola cala di valore, il valore di adesso, eh, questo è il prezzo di adesso.
Infine c'è anche il rimborso, il 100 di rimborso scontato, questo si chiama scontato in matematica finanziaria per 1 + i^ n.
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Benissimo, questa è la formula del prezzo dell'obbligazione. Eh, ora, chiaramente, questo prezzo dipende da i.
La domanda è quanto dipende da i? Cioè, se i mi aumenta dell'1% cosa succede al prezzo?
Beh, facci determinare, applica la formula, appunto. Ok, ma voi sapete, gli
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economisti sono persone semplici e vogliono una cosa più semplice. Sto scherzando, sto scherzando.
Soprattutto una volta che non c'erano i computer, i calcolatori e cioè dire "Guardati la formula". Ogni volta calcolare la il tuo flusso di cassa magari per 30 anni o magari c'è una roba che paga interessi
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mensili, quindi per 10 anni sono quanti sono? 120 120 flussi di cassa attualizzarli tutti a manina con la matitina è una cosa lunga.
Quindi si vuole una formula più sbrigativa, più snella, più immediata. Non è che ogni volta posso utilizzare sta formula, anche se adesso, onestamente con Excel
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potrei farlo. Ok?
E quindi e quindi qui intanto la scrivo in maniera più compatta così. Questo piacerà molto a chiunque abbia fatto analisi uno dove si studia questo strano biscio chiamato sigma maiuscola.
Ok? Questo strano biscio altro non vuol
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dire che guarda, lo vedi questo? Ripetimelo con Jay che va da 1 a N ed è esattamente questo pezzo.
Ok? Il biscio altro non è che questo pezzo qui.
Ok? L'ho scritto soltanto in maniera più compatta.
Voi potete sempre riimmaginarvelo come una roba del
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genere. Ok?
Benissimo. Questo ho sostituito a 100 il rimborso.
Come facciamo a semplificare un po' questa cosa qui? Beh, la linearizziamo.
Cosa vuol dire? Vuol dire la dipendenza di P dalla variabile i, cioè dai tassi di interesse
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attuali, è è fortemente non lineare, cioè sta al denominatore che mi dà un fastidio terrificante e in più ci cioè è alla 1, 2, all 3, 4^ n, quindi è doppiamente non lineare, uno perché sta al denominatore, un altro perché
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ovviamente arriva fino alla n, però sappiamo che spesso se l'oscillazione di i è poca poca poca possiamo approssimare questa funzion funzione con una funzione lineare e in quel caso vediamo le cose in maniera molto più chiara perché il
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nostro cervello alla fine è lineare, ve lo non va di sol difficile che vada oltre lineare. Come si fa a fare l'apossimazione lineare?
Beh, si fa con lo sviluppo in serie di Taylor, signori. Vi presento lo sviluppo in serie di Taylor.
Quindi una funzione di i la si può approssimare con il suo valore
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calcolato in un in un specifico punto i con 0, che nel nostro caso saranno i tassi in questo momento nel momento zero, ok? Più la derivata prima della funzione calcolateni con zero per la variazione dei tassi rispetto a questo
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momento. Ok?
più la derivata seconda, la derivata terza e via così. Se però ci limitiamo alla prossimazione lineare, ho ho scomodato Taylor solo per fare il brillante, se ci limitiamo all'approssimazione lineare ci fermiamo qui.
In questo caso non è uguale. So che
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i matematici mi contesteranno che ho scritto uguale, ma non è dovrei dimostrare che la serie converge. Vabbè, chi se ne frega.
E in questo caso, se mi limito ovviamente al secondo termine, quindi a questi due pezzi, questo uguale diventa un circa uguale. In particolare
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circa uguale quando i si scosta poco da i con 0. Benissimo, quindi teniamo questo pezzo.
Noi approssimeremo adesso il prezzo dell'obbligazione come funzione di i e utilizzando i primi due termini della
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serie di Taylor. Se vi sembra un'approssimazione eccessiva, vi ricordo che addirittura in certe materie tipo ingegneria ogni tanto si approssima al primo termine, cioè lo si prende costante e chi se ne frega.
Eh, quindi ci sono ci sono ponti che stanno in piedi con approssimazione addirittura al
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termine di ordine zero. Quindi non mi sconvolgerei questo termine.
Se volete si potrebbe anche calcolare quant'è questo termine per vedere l'errore che si fa. È vero che potrebbe esserci un errore su questi, però è con quando se i è piccolo i - i 0² che se i ha una
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variazione dell'1% i - i 0² è 1 su 10.000, Quindi cappero, cioè è è praticamente microscopico. Per non parlare il cubo è uno su 1 milione.
Ok. Più più c'è pure il fattoriale sotto che cresce.
Ok, quindi teniamoci sti due
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pezzi. Andiamo a vedere.
Ta ta ta ta ta ta ta ta ta. Eccolo qui.
Quindi il mio prezzo lo approssimerò con il prezzo calcolato in i con 0. Sì, lo so che normalmente in matematica calcolato in i con 0 si mette aperta parentesi, i con 0 chiusa parentesi come qui.
Come qui. Il
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problema è che se faccio così finché è un numero piccolo questo e e voi lo capite se iniziasse una formulona iniziate a pensare che sia f moltiplicata per quindi a me non piacciono le parentesi per indicare la funzione calcolata in e mi piace di più
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la barra verticale. Quindi la funzione la prezzo calcolato in i con 0.
più la derivata del prezzo rispetto a i. Ho usato il simbolo di derivata parziale perché il prezzo dipende anche da altre cose, dalle cedole, dal rimborso.
Quindi mi sono permesso di mentre qui c'è la
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derivata tradizionale ordinaria, come si chiama, non so neanche lavoro tanto con le derivate parziali, non mi ricordo neanche più come si chiama quell'altra derivata ordinaria si chiamerà o imparziale. C'è la derivata imparziale calcolata in i con 0.
Qui ho messo la derivata parziale, quindi rispetto a i
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calcolata in i con 0 per i - i con 0. esattamente come torna qui.
Ok? Quindi questo è quello che dobbiamo calcolare.
Una volta che abbiamo calcolato questo, vi faccio notare che questo altro non è che un numero, cioè un numero, se ok, un numero che dipende dall'ecedere, dal rimborso, ma questo non dipende più da
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I. Questa è la parte importante, cioè l'unica dipendenza da i sta qui.
Quindi tutto questo pezzo, sia questo coefficiente che questo termine costante, qui non dipendono più da i. Quindi noi avremo quanto oscilla il prezzo al variare di i rispetto ai con 0
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e tramite una formula che finalmente non dipende da, quindi l'abbiamo linearizzato. Benissimo, andiamo a fare i conti.
Ci serve questa roba qui. Quindi dobbiamo calcolare la derivata del prezzo rispetto a I.
Vi ricordo che il prezzo era qui. Eccolo qui prezzo.
Nel frattempo Elia Bombardelli che di
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solito queste formule le scrive sulla sulla tavoletta grafica direttamente durante il video è svenuto a vedere me che scrollo. Ok, quindi per calcolare la derivata del prezzo rispetto a i.
Ora questa è più o meno la formula del
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prezzo. Ho portato la derivata dentro.
Voi sapete la derivata in una somma è la somma delle derivate. Questo se non lo sapete vi rimando, no?
E la derivata se c'è un coefficiente che non dipende da i e la cedola non dipende dai tassi di interesse di questo momento perché come vi ho detto all'inizio del video non è
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calcolata sul prezzo, ma è fissa. Certo se facciamo questo lavoro per una obbligazione che è indicizzata, ad esempio, all'inflazione o ai tassi, non non funziona assolutamente, ma proprio non funziona assolutamente.
Ok? Quindi, siccome questa cedola è costante
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rispetto a i l'ho portata fuori dalla derivata. Quindi mi resta la derivata di 1/ + i^ j.
Mi sono permesso di scriverlo come 1 + i^ - j, roba che si fa in seconda superiore, se in prima superiore forse addirittura, cioè che 1 + i all j,
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altro non è che 1 + i^ - j. Ok, stessa cosa di qua.
Ho portato R che è il rimborso che spero non dipenda dai tassi per la derivata rispetto a I di 1 + i^ - n. A questo punto è facile perché facciamo prima questa che addirittura è ancora più facile.
Qual è la derivata di
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questa roba rispetto a i? Beh, questo qua è è qualcosa che dipende da i^ - n.
È un polinomio, quindi è la stessa cosa, è scende n, vi ricordate la scende n, si piazza qua davanti, quindi viene - n, ok? e poi il coefficiente diventa - n -
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1. Infatti nella formula seguente, eccolo qui, è arrivato il - n che è sceso meno è uno dei delle regole per fare le derivate è - n - 1.
Stessa cosa da questa. Dobbiamo derivare questa cosa qui rispetto a rispetto a i e non rispetto a j.
Rispetto a i. Questo qua è
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come, tanto per farci capire, è come x^ j derivata rispetto a x, ok? o x ^ 7 derivata rispetto a x è 7x ^ 6 o x ^ -7 derivata rispetto a x è -7x ^ -8.
Ed
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ecco qui infatti scende il coefficiente che è il -7 nel nostro esempio. Questo è l'^ -8.
Ok? Se vi lamentate che non è x, ma è 1 + x, beh, poi in teoria in effetti dovrei derivare anche 1 + x rispetto a x, ma la derivata è 1.
Vabbè, chiudiamo
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la parentesi. Comunque questa è la derivata del prezzo rispetto al tassi di interesse.
Ora sembra brutta come formula perché sono apparsi dei J qui che sono orribili, degli N qui coefficienti tutti sballati adesso, però attenzione, facciamo un un mega trucco.
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Raccolgo di tutta sta roba, raccolgo il segno meno. segno meno che è giusto che sia apparso perché vi ricordate, vi ho detto quando i tassi salgono il prezzo scende, quindi la derivata del prezzo rispetto ai tassi deve essere negativa, quindi è apparso un segno meno
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in tutto il guazabuglio. Ok?
Raccolgo il segno meno e lo porto davanti a tutto e raccolgo anche un 1 + i^ -1 che sta sia qui che qui, quindi mi libero di questo 1 più^ -1. Oppè,
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eccolo qui. Ho raccolto il segno meno.
Ho raccolto 1 pi^ -1 che che è 1/ i, roba che si fa in terza media, ma forse in seconda. Ok, ogni tanto sparo a caso robe.
Ok,
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quello che mi rimane dentro, eccolo qui. Come vedete quello che mi rimane dentro è molto imparentato col valore del prezzo originale, eh.
Guardate la la formula. Se non ci fosse questa maledetta per J e questa maledetta per N.
Questo sarebbe il prezzo originale.
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Invece c'è questa maledetta per J e questa maledetta per N, ma ci torneremo dopo, quindi lo teniamo qui. Questa è la derivata del prezzo rispetto a I.
Vi ricordo che sta roba va inserita nella formula dello sviluppo in serie di tailor formatis al primo ordine.
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Ed eccola qui. Quindi il prezzo possiamo dire che è circa uguale al prezzo calcolato adesso che abbiamo adesso.
In realtà questo potrei esplicitarlo, ma lo lascerò lo lascerò così perché di solito è un numero che avete proprio, cioè lo avete dalle da da guardate a mercato, è
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107, ecco 107, quindi inutile esplicitarlo, inutile che lo ricalcoliate, ve lo dice il mercato, ok? per questa derivata che abbiamo appena calcolato, ma calcolata in i con 0 per i - i con 0.
Ed eccolo qui. Quindi il prezzo è il prezzo in questo momento,
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attenzione è apparso il segno meno, come vi ho spiegato prima, è apparso il coefficiente 1 fratto era 1 più va calcolato in i con 0 che è il tasso attuale. Ok?
Poi tutta sta robaccia che sembrerebbe il prezzo se non fosse per
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queste due cose che sono apparse per i - i con 0. il tutto calcolato in i con 0.
Eh, ora vorrei farvi notare che tutto questo, anche se sembra una formula terrificante, è un numero, o meglio, è un numero, non dipende da i, cioè non dipende dal nuovo tasso, dipende
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soltanto dal tasso attuale, dalle cedole, dagli anni e dal rimborso, però non dipende dal nuovo tasso. Quindi questo è l'interessante.
Quindi io se i aumenta passa da i con 0 a un pochino di
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più, quindi aumenta dell'1%, questa roba qui vale 1%. E io so esattamente quant'è il coefficiente che mi fa variare il prezzo originale dell'obbligazione.
Vedete, questo è il prezzo originale dell'obbligazione che varia di meno
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qualcosa perché quando questo aumenta il prezzo deve diminuire, quindi è giusto che sia parso un meno. Ora se non vi dispiace faccio delle un'altra piccolissima operazione.
Porto questo P a sinistra. Eccolo qui.
Devo spiegarvi come l'ho
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fatto. Ho portato il P a sinistra, gli ho cambiato di segno.
E adesso divido tutto per P di con 0. Attenzione, magica bul.
Ok, ecco qui. Allora, adesso a sinistra ho diviso tutto per P con Z0, vedete?
Eccolo qui più a sinistra ho la variazione in percentuale
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del prezzo. Questa è la variazione.
È il prezzo nuovo meno il prezzo originale diviso il prezzo originale. È la quanto è variato il prezzo in percentuale?
Attenzione, non è in percentuale rispetto a 100, è percentuale rispetto a quello che era. Se il prezzo era 80 è variato del che so l'1%
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adesso sarà 80,8 non è 81. Eh, quindi è quanto è verato il prezzo percentuale rispetto al prezzo stesso, non rispetto a 100.
Se lo volete rispetto a 100 non dovete dividere per PD con Z0. Tra l'altro, secondo me,
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detto per inciso, se non dividiamo per PD con Z0, sta formula diventa molto più semplice. Vabbè, però gli economisti preferiscono dividere o Capisco per qual è il motivo, cioè ho un'idea di quale sia il motivo perché loro hanno un certo investimento e vogliono vedere come varia l'investimento, non gli interessa
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come varia il numero. Ok, però mi hanno complicato la formula, mannaggia a voi.
Tra l'altro ci ho messo tipo du ore. Io ho ricavato tutte ste, so che queste formule sono disponibili, le ho trovate dopo, però io intanto prima me le sono ricavate da solo, poi le ho guardate dopo per vedere se erano sensate oppure stavo sparando cavolate.
Quindi ci ho
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messo tipo mezz'ora a capire perché appariva un PD con 0 qua sotto. Ho detto "Ok, è perché dividono anche questo per PD con 0".
Quindi la varia, questa è la variazione in percentuale del prezzo, è data da meno, importantissimo sempre,
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la variazione del tasso di interesse. Questa volta non in percentuale, ma è la variazione secca, cioè se passa da 7 a 8 è 1%.
Non è eh 0 quel che l'è, è 1%, quindi è proprio la variazione esat, proprio il numero del tasso di
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interesse. E qui c'era i - i con 0.
Eh, vedete? i - I con 0.
Ok? Per tutto questo mega coefficiente qui.
Ora, questo mega coefficiente gli economisti lo chiamano questa parte qui
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fino a qui dove non c'è il delta, cioè questa, insomma, questa parentesi quadra diviso PD con 0 la chiamano duration, ok? E questa parte qui moltiplicata per 1/ i + i con 0 la chiamano duration modificata.
Il meno non se lo filano.
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Ok? Quindi ed è per questo che mi è toccato dividere per PD con 0, altrimenti non mi tonava la formula della duration.
Quindi gli economisti chiamano duration tutta tutto questo sto rapporto. Vediamo un po' cos'è questo rapporto.
Attenzione, questo rapporto è meno brutto di quel che sembra che
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sembra bruttissimo, però attenzione, qui abbiamo questi C di con J / 1 + i 0^ J è i flussi di cassa delle cedole scontati. Quindi i flussi di cassa del cedole al valore attuale.
Ognuno moltiplica il
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l'anno in cui verrà. L'anno che verrà e quindi se avverrà al settimo anno è il settimo flusso di cassa scontato per 7 anni col tasso attuale moltiplicato per 7 proprio il numero 7.
Ok? L'anno che verrà.
Ok? E avanti così
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fino all'ultimo anno. E questo è il rimborso scontato col col tasso attuale, quindi riportato ad adesso moltiplicato per l'anno in cui verrà il rimborso.
Quindi questa qui può essere vista come una media pesata dei momenti in cui mi av mi riceverò soldi.
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Questo è il momento in cui riceverò i tutti i soldi finali. Questi sono tutti i momenti in cui riceverò il cedole.
Ok? usando come pesi i soldi che riceverò, ma scontati ad adesso.
Attenzione, soprattutto per il
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fatto perché è diviso per P di con 0. P di con 0 è esattamente la stessa identica formula, ma senza questi, senza questi due.
Vediamo se riesco a evidenziarli entrambi. No, con shift neanche, senza la stessa identica
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formula, ma senza questi due. Quindi è proprio questo questo rapporto è proprio la media pesata dei tempi a cui riceverò i soldi utilizzando come pesi i flussi di cassa che riceverò scontati ad
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adesso. Ok?
Quindi io all'inizio pensavo che questa formula se la fosse inventata qualche economista in preda da delirio alcolico, invece no, viene dritta dritta dallo sviluppo in serie di Tayor e diciamo ha anche un significato perché se voi pensate sostanzialmente questa
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formula per quella è chiamata duration perché di fatto è un tempo, è una media pesata dei tempi utilizzando come pesi quanti soldi ricevo. Quindi se io a un certo tempo ricevo tanti soldi quel tempo vale di più nella media pesata.
Ma se un certo tempo ricevo due spicci
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perché magari è una cedola irrisoria, quel tempo vale di meno. Per questo si dice che le obbligazioni zero coupon, le obbligazioni zero coupon hanno duration pari a n.
N è la loro durata N è la durata, eh perché N è il numero di anni a cui riceve rimborso finale. Le
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obbligazioni, infatti, le obbligazioni zero coupon non hanno tutta questa parte. zero coupon non hanno coupon.
Rimane solo questa. Qua sotto ho esattamente la stessa cosa, R / 1 + i con 0^ n perché ho il prezzo dell'obbligazione zero coupon ad adesso,
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che è semplicemente quanti soldi prenderò alla fine scontati ad adesso e quindi il tutto tutto il rapporto viene esattamente n, quindi per quello per le obbligazioni zero coupon la duration è esattamente n. Però a questo punto vi devo dare una
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brutta notizia. Non è vero che la variazione di prezzo è data da meno la variazione del tasso per la duration.
No, se guardate la guardate la formula, la variazione del prezzo, eccola qui in percentuale è dato da meno la variazione
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del tasso per la duration e poi appare il termine sgarbato, devo dire molto sgarbatamente appare questo 1 più con 0. Ok?
Dipende. Quindi la variazione dei tassi e del prezzo dell'obbligazione non
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è la duration meno la duration per la variazione dei tassi, no? È meno la duration per la variazione dei tassi per questo termine sgarbato, dove questo termine qui brutto, brutto in realtà, poverello, è uguale a uno se i tassi attuali sono nulli.
Quindi se i
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tassettuali sono nulli, allora sì che posso dire che è così, ma se i tassetti attuali non sono nulli, ad esempio, potrebbero essere anche alti, tipo 1, 10%, quindi 1,1. Questo questo termine qui è circa 0,9, sarà in realtà forse un 0,91 penso,
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quindi è tutt'altro che così. Per questo viene introdotta la duration modificata.
è chiamata duration modificata perché questo questo pezzo qui era così bello, era sostanzialmente questa idea della media pesata dei tempi e niente è stato
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gambettato da dalla presenza anche di questo e quindi viene chiamato dove modificato. Ho qui un sito della Borsa Italiana, ecco qui, vedete?
Questo sostanzialmente è esattamente la formula che ho scritto io, ma loro invece che mettere il denominatore mettono t - tk.
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Ok? La duration modificata, eccola qui.
Duration/ 1 + r. R è il mio i con 0, eh?
R è il mio i con 0. Quindi la variazione del prezzo in obbligazione in prima, anzi in seconda approssimazione, perché la prima
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approssimazione è quella costante, in seconda approssimazione è data da variazione dei tassi meno meno variazione dei tassi per la duration modificata, non la duration. Attenzione che tra duration e duration modifacciamo un po' un breve conticino
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così buttiamola lì. Prendiamo l'obbligazione da 7 anni, no?
Un'obbligazione da 7 anni avrà una duration circa di 6 perché perché vi ricordo la duration altro non è che il i flussi di cassa pesati per quanto
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rimborsano. Quindi un'obbligazione a 7 anni che di cedola non paga un granché.
Sì, la duration si sposta un po' perché contano anche i vari flussi di cassa delle cedole, ma contano molto meno del centro finale. Quindi facciamo una duration di 6, ok?
La duration di 6, se
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i tassi attuali sono al 3 è 6 / 1.03 duration 582. Ok, cambiata di poco in effetti.
Quindi coi tassi, diciamo, a livello attuale tra duration, duration modificata non cambia di tantissimo, però con i tassi al 10, esempio 6 / 1.1
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545 ci perde mezzo anno di mezzo punto di di variazione. Ok?
A cosa serve questa formula? Beh, se ancora non l'aveste capito, mi chiedo cosa ci fate qui.
Serve, come ho detto 7.000 volte quando variano i tassi,
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ad esempio, variano di un 1%, quindi qui abbiamo messo 1% di quanto varia il prezzo in percentuale? Il prezzo in percentuale vale la sua duration che ad esempio come nell'esempio di prima poteva essere 6/
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1.03. Ecco, quindi se i tassi variano dell'1% il prezzo attuale in prima approssimazione scende del 5825%.
È il significato della duration
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modificata. Dce modificata, tranquilli, non la dovete calcolare ogni volta con lo sviluppo in serie di Taylor.
Viene fornita da parecchi strumenti, borsa italiana, uno di quelli, ma ovviamente come non citare il lo sponsor del canale che è Simple Tools for Investo. Matteo,
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quand'è che ci metti la pubblicità qui che devi fare i soldi? Simple Tools for Investo.
Vediamo, prendiamo i quelli che vi piacciono, che sono i buoni del tesoro italiani. Dà la duration e la duration modificata.
Ecco qui. No, dà solo la duration.
da solo la duration, poi vi calcolate
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manin manina la anzi controlliamo se quella che Matteo chiama duration è la duration o la duration modificata. E come facciamo a controllarlo?
Matteo di solito è così bravo che mette tutte le spiegazioni. Eccole qui, uno dei pochi
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che mette le spiegazioni. Clicchiamo su guida i dati presenti nei monitors.
Eccolo qui. E abbiamo Dov'è?
Duration Oh! per Matteo la duration.
Vedete Matteo ci mette già la duration modificata. Matteo, una piccola M così.
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M duration. Vabbè, andiamo a fare i pignolazzi.
Ok, quindi eh la duration che ci indica Matteo è la duration modificata. Torniamo al BTP.
Li ho ordinati per scadenza. Ecco,
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vedete? Siamo Sto registrando 18 agosto 25.
Andiamo un 18 agosto 26. Ecco questo 28 agosto 26, eccolo qui, ha un la duration modificata è esattamente
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uno, proprio esatto esatto. Ha un anno.
Ha esattamente uno. Perché esattamente uno?
Vabbè, perché forse la cedola attuale non conta più niente. Vediamo.
Prendiamone uno a 2 anni, quindi agosto 27 28, quindi a 3 anni
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addirittura. Primo agosto 28, ecco qui duration modificata 282, cedola 3,8, quindi le cedole iniziano a pesare.
Se invece prendo quest'altro che è di luglio, vedete? Di luglio, quindi più o meno è 15 giorni prima soltanto,
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guardate che le cedole pesano molto meno. Vedete?
0,50. Infatti la duration aumenta 289 perché perché pesa molto di più il rendimento finale, pur essendo una cosa che scade poco prima.
Ecco qui. Quindi questo tre, beh, questo questo qua è
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Futura Step, non voglio sapere, sono incasinatissimi. Ecco qui.
Se andiamo avanti avanti avanti, becchiamo qualcosa, vediamo. Ecco qui.
2038, quindi scade tra 13 anni e duration è 10,65. Qui le Ops è sopra la mia testa.
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Qui le cedole iniziano a sentirsi, cioè l'effetto delle cedole sulla formula della duration che è questa iniziano a sentirsi. Oh, niente, ho fatto questo video più che altro perché io ho sempre visto sta duration, sta duration modificata e l'ho sempre presa come oro colato e sapete finché non ci metto come
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San Tommaso, finché non ci infilo il dito, il naso era comunque finché non ci infilo il naso, non riesco a convincermi e ho scoperto che non dobbiamo guardare la duration, ma la duration modificata. La duration così ci dà un'idea
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bella l'idea dei tempi attualizzati, ma è la duration modificata, il vero coefficiente di delta i che ci dice di quanto varia in percentuale il prezzo dell'obbligazione. Oggi è tutto per le duration.
Ciao, a presto. Fermi tutti
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dove state andando. Mi ero dimenticato di segnalare per tutti quelli che sono interessati invece al secondo ordine, quindi dello sviluppo in serie di Taylor, anche a prendere il pezzo con la derivata seconda, quella si chiama convessità o con cavità, perché chissà perché è sempre convessità.
Ok,
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convessità o con cavità. Ora tranquilli, non faremo i conti, ma volevo segnalarvi il sito del bravissimo Abramo Franchetti, un nostro follower, un pignolazzo, eccolo qui.
E il sito è abramofrchetti.gitab.
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Ve lo lascio linkato, ovviamente, tipo lo lascerò qui, dai. E questo sito vi fa osservare anche la convessità.
Prendiamo ad esempio un valore nominale 100 perché mi piace lavorare col 100. Cedola annuale la mettiamo realistica tipo al
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38 all ecco quelle che ci piacciono all'1% perché sapete che in Italia prender cedola è inutile. Un'obbligazione a 7 anni.
Rendimento attuale delle Andiamo a guardare il rendimento attuale su Simple Tools for Investors di Matteo. Andiamo a vedere
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quanto rendono i BTP adesso. Eccoli qui.
Btamo sul un tristissimo 2%. No, cosa ho detto?
7 anni. 7 anni e siamo su un 3 e 2.
Ok, quindi quindi quindi 3 e 2 3 e 2.
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Eccola qui. Eccola qui.
E lui vi fa vedere appunto l'approssimazione lineare che è quella che si ottiene con lo sviluppo in serie di tailor formandosi al primo al primo ordine. Ad esempio da tre.
Vedete, se io vado con i dati qui da 3,20 a 4,20 o da 3,20
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a 220, quindi se cambio dell'1%, a Bramo me lo indica gentilmente con le linee tratteggiate verdi. Vedete la lineare e il prezzo dell'obbligazione, diciamo, vera e sono più o meno uguali, cambi pochissimissimo, però già se se vi se vi
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andate oltre l'1% di variazione vedete già si distaccano. E questa è la convessità, cioè l'obbligazione in realtà non è la non è non ha un prezzo dritto rispetto al tasso di interesse.
È in questo caso convesso. Sarei pronto a
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scommettere che ci sono dei casi patologici in cui non è convessa, ma in questo caso è convessa e vedete dopo un po' si distacca, dopo un po' l'approssimazione lineare non va più bene e Abramo gentilmente ci mette anche qui. Ecco, quindi, anzi,
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addirittura in questo modo potete anche evitarvi di fare tutto il calcolato, potete farvi tutti le simulazioni che volete lavorando qui su questi dati, su questi slider qui. Benissimo, adesso veramente ciao ciao.