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Category: Mathematics Education
Tags: connectorslogicmathematicsnumberspropositions
Entities: De Morgan's lawsEuler's numberintegersirrational numbersJorge Maitalogical connectorsnatural numbersPirational numbers
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buenos días a todos vamos a comenzar eh con el curso el curso de álgebra el que les habla es el profesor Jorge maita
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Comencemos con el tema base que es lógica profesional este tema eh es base para la siguiente clase que es teoría de conjuntos y también esas dos clases van a ser base para números reales y así sucesivamente entonces Lo esencial es lógica en varias demostraciones que
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vamos a hacer durante todo el ciclo se utiliza bastante lógica profesional así que por favor presten atención practiquen ya okay chicos vamos Comencemos ya eh vamos a presentar
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algunos eh conjuntos numéricos que son vitales y vamos Air todo el ciclo por ejemplo los números naturales los números naturales eh según el aspecto de la un lo estamos definiendo a partir del uno 1 2 3 cu
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puntos pivos profe Yo he visto que en otro lado lo definen a partir del cero ya todo es cuestión de posturas Por ejemplo si te vas por la avenida Universitaria hay una Universidad Nacional que Define los
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naturales a partir del cero profe entonces quién está bien Quién dice la razón quién miente no la idea es cuestión de posturas nosotros no estamos definiendo así los Ellos están definiendo a partir del cero solamente están tomando un caso
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y nosotros el otro nada más cualquier está bien si ustedes quieren buscan en Wikipedia construcción de los números naturales axiomas de peano y ahí justamente hay un comentario si por ahí lo leen por favor chicos pero acá lo
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estamos tomando a partir del uno después naturales están los números enteros Acá está el -2 el -1 Alianza 1 2 ahí está los números
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racionales son aquellos números que se van a expresar como fracciones m sobre n donde m y n son enteros pero n Qué valor no puede tomar cero Claro porque no estaría bien
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definido Muy bien Y a partir de eso podemos definir un conjunto llamado Los Reales que serían los racionales Unido con los irracionales y de hecho estos dos conjuntos no tienen nada en común o sea la intersección de ellos es
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el conjunto vacío ahí estoy adelantando algunos temas que ustedes saben chicos entonces Acá tengo los números racionales y los números irracionales estos dos conjuntos son disjuntos y todo este conjunto te dan los números
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reales bueno acá tengo tengo los números naturales y los números enteros ahí está el cer sería un número entero pero no es natural lo estamos considerando que es natural acá estaría el -3 acá el
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2 números irracionales conocidos tenemos al número pi 3.14 15 16 puntos pivos el número de Euler 7182 no en puntos pivos y ahí está
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entonces Esos son los conjuntos vitales que vamos a utilizar durante todo el ciclo ya chicos Comencemos con el tema qué consiste la lógica profesional consiste en de un enunciado general sea cualquier idioma pasarlo a un lenguaje
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simbólico puedes no sé decir una una una enunciado No si estudias entonces ingresarás Entonces lo vamos a escribir con símbolos p una flechita q Okay vamos entonces lo lo vital es definir Qué es
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una proposición es todo enunciado que puede calificarse como verdadero falso como
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verdadero y la palabra verdadero lo vamos a abreviar con v y falso con f ya muy bien chicos a ver Comencemos Comencemos a ver primer ejemplo del
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ciclo a ver for example usualmente las proporciones se van a denotar con pqr con letras minúsculas y comienza a partir del P no a partir del a Entonces vamos a decir lo siguiente a ver algo
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sencillo Y eso seguro lo han visto en algunos textos pi es ig a 22 verdadero o falso falso muy bien Recuerden que esta igualdad no es una igualdad es una
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aproximación ahora técnicamente no va a ser una igualdad Por qué Porque estamos comentando que el pi es un número irracional y el 22 simo sería racional y hemos quedado que en los racionales con los irracionales no tiene nada en común Entonces no puede darse esta igualdad no tiene sentido Ya Ese es el primer
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ejemplo dos vamos al segundo ya a ver puedo poner la letra Q digamos Lima es la capital de
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Chile verdadero o falso ya okay fal muy bien Okay gracias gracias Ya y así es sencillo nada más Ahora hay enunciados que no son proposiciones O sea no lo puedo calificar como falso
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vamos a dar justamente esos enunciados a ver eh los siguientes enunciados enunciados no son proposiciones a ver voy a solamente a citar dos Hay un montón de proposiones no por ejemplo la
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clásica bueno ustedes usualmente se saludan así no bueno no sé su generación así se olis no ya Cómo qué más auxilio Socorro temblor
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Cómo estás Cómo te va no son calificados como proporciones otras expresiones puede ser lo siguiente yo soy un mentiroso profe todavía no lo conozco es
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mi primer ciclo con usted no puedo decir si es verdadero ya si eso verdadero y yo digo yo soy un mentiroso si ese enunciado es verdadero soy una persona que miente pero ahí estoy diciendo la
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verdad no es correcto si ese enunciado es falso Entonces lo correcto es decir que no soy un mentiroso si soy una persona que no es mentirosa dice la verdad pero ahí estoy diciendo algo falso tampoco son enunciados que no se pueden
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calificar como verdadero o falso muy bien chicos ahí está Okay okay Ya vamos a definir algunos términos que se van a llamar los famosos conectores lógicos qué me va a ayudar los conectores lógicos me va a ayudar a enlazar las
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proporciones los conectores lógicos ya a ver muchachos A ver directamente ya vamos al grano vamos a hacer el conector su símbolo y el lenguaje común que se trabaja ya el que
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estamos viendo ahorita el Castellano ya vamos directamente acá voy a hablar del conector el símbolo la representación y el un
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ejemplo en lenguaje común en el que manejamos ahorita ya a ver vamos comenzamos Eh puede ser el conector de la eh negación
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en la negación sería una Cómo llaman eso virgi Creo no Y simplemente Es falso que no es cierto que o simplemente no no después la disyunción
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débil disyunción débil la disyunción débil es el o acá se presenta con una o una u V No ya la
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conjunción la conjunción sería invertir esto y es el I No qué más viene la condicional la condicional se representa
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de esta forma y es si puntos coma Entonces ya después que viene viene la bi no la B
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condicional ya el famoso s solo s ya muy bien sí solo Sí qué me falta dión fuerte o excluyente si hay
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débil hay fuerte ya se representa con un triangulito es o o no se cumplen los dos casos uno nada más muy bien entonces gracias a los conectores lógicos vamos a clasificar a
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las proporciones Entonces vamos a clasificar los chicos cómo lo vamos a clasificar con la presencia de ellos primero Qué sería una proposición simple es
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aquella proposición que carece que no tiene conectores lógicos que no tiene conectores lógicos ya así de simple
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chicos ya a ver un ejempl de proposición simple A ver dame una manito Juan esclero verero ya ahí está dos
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Keila y Sofía son primas es una propón simple ya acá el detalle es el siguiente acá aparece el I y acá aparece el I y es una conjunción ya entonces el detalle es lo
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siguiente no que si no cumple el rol de conector lógico por si cumplir el rol de conector lógico debería enlazar a dos proposiciones si lo enlaza debería decir Keila es prima y Sofía es
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prima tiene sentido lo que he dicho no no se puede separar entonces este I Por más que represente un conector lógico no cumple la función Esto no es un conector lógico tengan mucho cuidado también tiene que guiarse por el sentido común
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por el lenguaje ya dos a ver una yapita más Ya esta obra que es muy conocida Quién escribió Romeo y Julieta William Shakespeare es el autor de Romeo y
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Julieta acá también aparece la letra bueno el y es y cumple el rol de conector manchu porque no puede ser que Will el autor de Romeo y William el autor de
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Julieta el título es uno solo no lo puedo separar entonces ti también no cumple el rol o no es un cognitor lógico pues no entonces ahí está el detalle tengan mucho cuidado también vean el sentido común chicos está bien
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Sí ya muy bien Vamos entonces así como hay proposición simple vamos a definir proposición compuesta ya a ver cuál sería la definición de
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proporción compuesta Gracias ya es aquella Ajá aquella propón que tiene
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conectores lógicos ya muy bien vamos for example a ver uno pequeño nada más cuál podría ser ya María es
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abogada y José es qué es arquitecto qué ya acá claramente esto es el p y est
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es el Q separo dos proposiones Entonces es una proposición compuesta chicos ya dentro de momento vamos a hacer la tabla de verdad pero para hacer la tabla de verdad necesito unas definiciones que me van a ayudar para
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justamente completar las tablitas Entonces vamos a dar algunas definiciones para ya terminar esta pizarrita ya Eh bueno técnicamente cuando tú haces los problemas de lógica profesional La idea es pasarlo todo a o I y la negación
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no porque la condicional se puede como con el o y el I la bicondicional con la con la condicional dos dos veces y la dición fuerte es la negación de la bicondicional entonces hay que definir esos tres
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casos primero definimos Cómo se escribe o cómo se puede prar la condicional digamos p entonces q esto se va a expresar como la negación de p o q después vendría la
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eh bicondicional bicondicional la bicondicional cómo sería P S solo si Q que sería igual p entonces q y q
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entonces p esto es muy importante porque durante el ciclo vamos a ver bastantes resultados matemáticos y para complementar su formación voy a demostrarlos matemáticamente y para demostrar Un s solo s le voy a decir
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chicos voy a demostrar la ida que es ella y la vuelta que sería esta expresión o sea la condicional y su recíproco solo veremos al pasar el ciclo ya Y por último la disyunción fuerte la disyunción fuerte como lo
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había comentado de forma oral es simplemente la de la bicondicional y ya salió ya chicos tomen apuntes para seguir la segunda parte de la teoría ya
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muy bien chicos vamos a seguir esta primera parte Recuerden que hemos hecho el lo que es una proposición hemos definido los conectores para tratar de clasificar a las proposiones como simples y compuestas y hemos dado algunas definiciones ya con todos esos
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detalles vamos a hacer la tabla de verdad lo que es una fórmula lógica los tipos de Fórmula lógica y lo que es equivalencia lógica ya vamos chicos esta tablita para completarla más que todo
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ustedes tienen que saber los casos específicos en Sí por ejemplo en el único caso que va a ser falso cuando es el o es cuando ambos sean falsos obviamente lo demás son
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verdadero verdadero verdadero el único caso que va a ser verdadero en el I es cuando ambos son verdaderos o sea AC es verdadero y lo demás casos falso falso falso el único caso que en la
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condicional es falso es cuando es verdadero entonces falso o sea acá es falso y lo demás verdadero verdadero verdadero la bicondicional los únicos casos que
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son verdaderos cuando toman el mismo valor de verdad es decir cuando ambos son verdaderos esto es verdadero o cuando ambos son falsos también es verdadero y cuando son distintos es falso y por lo que había dado definición
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la disyunción fuerte es la negación de la bicondicional como es la negación entonces muchachos niego toda esta columna acá sería falso falso y acá verdadero verdadero y más que todo esto
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para guiarnos un poquito más no la negación de p est es falso falso verdadero verdadero y es así como completo la tabla profe es necesario saber la tabla Sí porque hay problemas donde te dicen te dan un dato p entonces
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q es falso Ah entonces tú te das cuenta que el único caso que es falso este es verdadero falso otro problema p y q es verdadero Ah el único caso que es verdadero en el I es cuando vamos son verdadero verdadero verdadero ya sabes los valores de verdad de cada uno de sus
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términos entonces Saber esto profe tengo que saberlo de memoria no Simplemente los casos específicos cuando est es falso verdadero falso y acá es la negación del otro no es sencillo aprenderlo no con la con la práctica más que todo se aprende de forma rápida
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eh todo es bueno hacerlo por tablas porque yo me acuerdo que en colegio eh era así no te enseñaban lógica no con tabla sale todo pero el problema es el siguiente No acá solamente hemos hablado de P y q Cuántos resultados
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tenemos cuatro imagínate que fuera pq r y s 16 vas a hacer tu tabla de 16 resultados Imagínate que te equivocas en uno ya te sale otra clave ya ya entonces
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por ahí no va el asunto Entonces qué Vamos a necesitar hacer con las leyes lógicas dentro de momento voy a presentar las leyes ya lo que quiero Resaltar acá son algo bien bien bonito a ver comienzo si es falso entonces q
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digamos recuerda que en la condicional el único caso que es falso es cuando es verdadero falso pero acá ya es falso Entonces esto es verdadero y caso similar si fuera acá p entonces
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verdadero esto Qué sería verdadero chicos porque el único caso que es falso es cuando este es falso verdadero o falso pero acá ha es verdadero verdadero no hay nada que operar a ver de manera similar a ver P S solo si
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p como son iguales esto es verdadero si fuera la disyunción fuerte p disyunción fuerte p según la tabl cuánto sería falso la negación de Pues no ya y así puedes tener varios detalles
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de esta tabla puedes sacar varias varias cositas ya vamos a hablar lo que es una fórmula lógica dice que es aquella expresión que contiene conectores lógicos y variables proporcionales ya entonces por ahí un poco que
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puede se puede confundir la definición de Fórmula lógica con la de proposición lógica ya una formula lógica digamos puede ser de esta forma p entonces q bueno algunos podrán decir profe Pero
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eso no es una proporción compuesta digamos El problema es que aquí yo no sé quién es p y q Por eso digo que todo esto es una fmul lógica entonces p y q me representan proporciones pero como yo no sé quiénes son se llaman
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variables proposicionales es digamos esta formulita x cu + y cu Yo sé que x y y me representan números reales pero quién es ese valor específicamente no sé quién es el valor lo único que sé que X y Y es real Quién
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es Beto a saber lo mismo acá p yq no sé si es verdadero o falso pero me representa una proposición como no lo sé Esta es una fórmula como un Pitágoras no algo por el estilo ya entonces voy a dar una pequeña observación para que quede
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un poco más claro ello entonces una pequeña notita Entonces tenemos esto p entonces q si no tengo el valor de P y q esto es una fórmula lógica Entonces cuando yo tengo el valor
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de p q ahora Digamos si p fuera verdadero y q fuera falso Entonces qué tendríamos que p entonces Q qué valor
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tomaría verdadero entonces falso falso o sea este p y q dejan de ser variables proporcionales porque ya sé los valores de verdad y se convierten en proporciones y también ya s este valor que sale falso Entonces esta expresión
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Ya deja de ser formul lógica ahora es una proposición compuesta o sea Esa es la diferencia chicos es por eso que en varios problemas del seminario dice formul lógica formul lógica formul lógica no ya qué De bonito tienen esas formul lógicas
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que vamos a tener tres casos muy interesantes el primero es la famosa tautología para no estar escribiendo todo el mismo texto fómula lógica vamos a abreviar como f. L A ver una fórmula
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lógica es aquella bueno la ttía es aquella formaa lógica que siempre es verdadera siempre es verdadera o sea En otras palabras
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independientemente del valor de P y q RS W no sé que tú le des siempre te el valor de verdad voy a dar un ejemplo chicos muy pero muy clásico donde me parece que hay varias preguntas del
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seminario con este detalle por ejemplo el p entonces p yo no sé qué valor toma p si p es verdadero al es verdadero si el es falso falso según la tablita que está ahí
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verdadero entonces verdadero verdadero y falso entonces falso o sea Siempre sale verdadero por eso esto es una tautología ahora si digo que siempre es verdadero también debe haber una formaa
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lógica que siempre es falsa y ella la vamos a llamar cómo lo vamos a llamar Exacto contradicción contra dición entonces digo es aquella
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fórmula lógica que siempre es falsa vamos a tomar digamos un caso simple p y p y bueno in negación de p si é Es verdadero el es falso si el es
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falso verdadero verdadero y falso falso falso y verdadero falso falso siempre falso Ahí está bueno chicos no es que todas las fórmulas lógicas son siempre verdaderas o falsas puede haber un término
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intermedio ajá incontinencia No es otra cosa es es contingencia contingencia contingencia ya es
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aquella fórmula lógica que no [Aplausos] es Creo que van a traer Ya están viendo los
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panetones contradicción ya okay chicos ya ahí está vamos con otro caso vamos a hacer ahora cuándo dos formulas lógicas van a ser equivalentes a ver antes que me paren
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la clase la clase equivalencia lógica ya a ver ya se dice Bueno directamente dos fórmulas
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lógicas son equivalentes son equivalentes si tienen la misma
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tabla la misma tabla de verdad ya muy bien ya a ver en otras palabras vamos a
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comparar A ver vamos a ver que p entonces q es equivalente la negación de q entonces negación de P O sea su famosa forma contrarrecíproca eso lo vamos a probar en la siguiente pizarra ya a ver chicos acompáñenme
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siete verdadero verdadero verdadero falso falso verdadero falso falso ya voy a negar esta columna negar esta columna lo copio acá sería falso verdadero falso verdadero y la negación de p sería falso
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falso verdadero verdadero ya me concentro lo de la izquierda ya la condicional todos ya saben verdadero falso verdadero verdadero cómo es ella
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ya muy bien chicos ya como ya tienen su material Ahora sí Ahora s lo van a vender ya okay Ya habíamos hablado La parte de equivalencia lógica Está bien
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muchas gracias ahora vamos a hablar sobre las leyes leyes lógicas Bueno hay muchas leyes pero de todas esas leyes vamos a hablar de las ocho leyes más importantes a ver comenzamos con la
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primera la ley idem potente qué me dice esa ley que p o es equivalente a p o también lo puedes esir como p y p es
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equivalente a p desde la ley de potente a ver un comentario un comentario creo que la palabra idempotente dónde la has escuchado matrices qué era una matriz
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idempotente la identidad al cuadrado igual a a pero a cuadrado Qué es a por a si te das cuenta la misma propiedad solamente cambiando notación conmutativa la propiedad
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conmutativa bueno en este caso es ley p oq es equivalente a q o p Okay p y q es equivalente a q y p ya qué
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más de hecho que estas leyes también lo vamos a ver la siguiente clase pero lo vamos a ver en teoría de conjuntos ya Quién sería la siguiente asociativa puede ser a ver la ley asociativa quiere decir
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p o q o r es equivalente a p o q o r y en dbd escribe y salud salud p q y r es equivalente a p y q y
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r ya si tú puedes observar estas tres primeras propiedades lo mismo que hago en o también lo aplico para y pero de forma separada vamos al cuarto propiedad
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distributiva cómo es ella p o q y r sería p o q y p o r qué más tengo p y
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q o r se distribuye p y q o p y r ya a ver Siendo sincero no me gusta mucho presentar tantas fórmulas no bueno
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es necesario hacer esto también pero como repito todo esto lo que estoy escribiendo lo has visto en el colegio no como como el tema en sí Sino de otra forma por ejemplo esto lo puede escribir de la siguiente forma
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3 * 4 + 5 esto es 3 * 4 + 3 * 5 Ahí está Solamente vean que es
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cambiar la notación pero se mantiene la misma propiedad sol cambiar los detalles Okay chicos Number Five cuál sería el siguiente ya la negación vamos a
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negarlo Por más que ya okay Ya a ver tengo p o negación de p Quién sería ella uno de ellos va a ser verdadero verdadero o lo que fuese
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verdadero p y negación de p claro como uno de ellos es falso falso y falso y la que me gusta la negación de la negación de p es p es si quiere decir algo lo niegas
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dos veces no no se va a entender así que conta que lo has dicho No ya okay Okay ya muy bien muchachos necesito más espacio y tiempo la identidad se refiere
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de uno de ellos eh va a ser verdadero o puede ser falso no pero ya está identificado por ejemplo p o verdadero si es verdadero y aparece lo verdadero
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directamente si fuera e p i verdadero Bueno no te acuerdas tienes que analizar por casos Si p fuera verdadero verdadero y verdadero verdadero si él fuera falso falso y
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verdadero falso te das cuenta que estos valores son los mismos que están acá Entonces esto es p chicos p hago el mismo análisis si fuera falso p o falso si esto fuera verdadero esto es
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verdadero si esto es falso falso falso falso Tiene los mismos valores por lo tanto esto es p Y si fuera p y falso basta que uno de ellos sea falso y aparece el y
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falso ya está siete cuál sería el siete sería las dos más importantes no primero Morgan que también vamos a ver Morgan en teoría de
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conjuntos sería la negación de p oq sería hay que negar todo dentro sería negación de P El o se cambia por I I negación de q Ahora qué pasa si fuera
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negación de P y q sería la negación de p o negación de q ya Ese es las dos eh propiedades para Morgan ya la más interesante
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absorción absorción eh tiene dos versiones la primera versión creo que es la más sencilla la que más se aplica cuando es p o p y q o el equivalente él sería p i p o
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q entonces fíjense la estructura que tiene Porque algunos Se pueden confundir con distributiva o I y como estos dos son iguales se repite el que es igual p acá i o el que se repite es p p sería por
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acá ahora puede ser este otro caso le llaman creo que la falsa absorción no sería el de acá o para el de Caso acá prácticamente lo mismo de arriba pero con negación o sea
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acá aparece o i i o p y su negación p y su negación Entonces cómo va a ser esta expresión lo que está fuera del paréntesis que sería lo de acá lo voy a copiar po y lo que no tiene nada que ver con p
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q acá lo mismo lo que está fuera del paréntesis Pi y lo que n nada que ver con el p que sería q y ahí está chicos ya muy bien Vamos a
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hacer algunas observaciones que es bueno para ustedes para que vean algunas otras alternativas adicionales ya comenzamos con la observación número uno ya a ver voy a borrar esto ya muy bien chicos qué es lo que
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quisiera que ustedes aprendan algo adicional es la lectura de esto no a ver usualmente esta condicional Cómo se lee lo habitual Cómo es si p entonces q ya eso
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todos lo sabemos pero no es la única forma de leer esa expresión hay dos formas que p es una condición suficiente
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suficiente para q eso si lo lees e como en el sentido de la flechita si lo lees más bien de derecha a izquierda sería que p es una condición
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necesaria es una condición necesaria para q ya todo depende de la forma que lo leas ya eh Ah también sucede Lo mismo
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para la bicondicional Algo similar tengo esta bicondicional ya la lectura clásica que todos manejamos es que p si y solo si q
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Ya esto es clásico dos para el caso dos vamos a recurrir a lo que hemos visto en el en la definición ya cuál er la definición de la bicondicional p entonces q y q entonces
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p por lo que te acabo de enseñar esto quiere decir que p es una condición suficiente para q pero si quiero leer el lo tengo que leer en el otro sentidos sería que p es una condición necesaria para p
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Bueno al revés No acá p Y acá es q no ahí sería en ese sentido ya entonces si yo junto las dos condiciones sería que p es una condición necesaria bueno
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suficiente innecesaria no innecesaria para q es por eso que algunos textos eh universitarios un poco antiguos por
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ejemplo el libro de hazer la shay Sullivan que es un buen libro teórico análisis matemático uno y análisis matemático dos tienen no lo redactan así A veces sus teoremas no le ponen sí solo sí le ponen tal condición es una
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condición necesaria y suficiente entonces quiere decir que es un sí solo sí no ya segunda observación ya vamos a hacer acá algunos comentarios muy importantes que es bueno que ustedes aprendan ya él
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ya saben cuál es su nombre condicional esto no hay nada que ver ahora si invierto el orden q entonces p eso se llama el
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recíproco ahora si niego ambos lados negación de p entonces negación de q eso se llama el contrario Disculpen contrario Ya ahora si hago una fusión de él con
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é es negarlo y después invertirlo O sea sería negación de q entonces negación de p como lo uno ellos dos sería el contrarrecíproco por eso lleva ese nombre
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ahí muy bien chicos interesante interesante vamos vamos Hay que seguir ya ahorita termino la tería comenzamos con los problemas ya ya tienen vayan intentando si ya copiaron no
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sé observación 3 ya hay una for esbir la bicondicional y la fuerte I ional con la definición misma parece dos condicionales es un poco
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tedioso entonces la bicondicional lo puedo escribir de la forma siguiente que sería p y q o negación de P y negación de q y la disyunción
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fuerte recuerden por definición Cuál es la conexión de la bicondicional con la disyunción fuerte negación niega toda esta parte y Aplícale Morgan primero negación de él cómo sería negación de toda esta parte p o q
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excelente y acá cám o por I y la negación del negación de p o negación de q muy bien chicos si te aprendes una la otra es similar porque lo único que has cambiado
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es el I por el o es la misma estructura ahora tú sabes que esta disyunción fuerte en teoría de conjuntos con quién se relaciona ese triangulito aparece en
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teor de conjuntos Cómo se le llama diferencia simétrica ya este o sería la unión a Unido con b teoría de conjuntos interceptado con el I eh la negación sería el
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complemento Ahí está y esto sería a unión b interceptado y aplicando Morgan en teoría de conjuntos a interseción b complemento a ver acá es Unión esto sería nada menos que a un B menos a
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interceptado con b o sea muy en el fondo eso proviene de la diferencia simétrica chicos de teoría de conjuntos Ahí está demostrado No ya vamos al número cuatro profe Cómo se muestra eso Bueno
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hay que operar un poquito no es tan difícil más bien voy a operar voy a demostrar algunas cosas más interesantes primero el p entonces q se puede escribir en su forma contrarrecíproca que sería la negación de q entonces negación de p de hecho que
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esto lo hemos lo hemos comprobado por tablitas segundo la bicondicional cumple la propiedad conmutativa es decir que q es s solo s p no estos dos son
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equivalentes tercero el P S solo s q es equivalente a la negación de p si solo sí la negación de q Esta última que acabo de escribir
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eh parece inocente pero tiene muchas aplicaciones en la demostraciones que vamos a ver más adelante profe En qué parte en sucesiones en matriz todo eso va a llegar a su momento de hacerlo pero tiene que recordar esta tercera
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propiedad es bueno hacer estas demostraciones Por qué Porque a veces vienen preguntas de verd y falso el alumno sabe resolver los problemas de cálculo no hasta tan lo hace pero el problema ver y falso a veces para ver si
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es verdadero se tiene que hacer una pequeña demostración y es bueno hacerlo ahorita ya vamos chicos p entonces q Cómo compruebo que p entonces q se escribe como la negación de q entonces negación de p Voy a aplicar definición Cómo por la definición p
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entonces q a Qué es igual negación de p o q Ya esa es la definición que he planteado en la columna que estaba acá todavía aquí lo he planteado Voy a aplicar ley conmutativa esto es q o negación de p
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acá estoy apendo con este Q que ven aquí lo voy a escribir de la forma siguiente como negación de la negación de Q qué estoy aplicando de este paso a él por qué escribo el Q como
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negación de la negación de q quién me garantiza eso la doble negación ahora fíjense en la estructura negación de algo o otra
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proposición es como negación de p o Q qué es la negación de p o q Repito Qué es la negación de p o q seno p entonces
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q Quién es el p es ella esto sería el Q negación de q entonces negación de p el dos por mentalmente lo podemos hacer
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a ver en tu cabecita p Si solo si Q qué es p entonces q y q entonces p al medio está el I cámbialo cómo sería q entonces p y p
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entonces q por la definición de bicondicional es ya ya está tercero ya ahora sí p Si solo si q Ya por lo que hemos visto ahí mentalmente Qué era el p Si solo si q p
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entonces q Ajá ya voy a aplicar contrarrecíproca ambos lados por la contrarrecíproca lo que acabo Mostrar acá negación de q entonces negación de P
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y cómo sería acá negación de p entonces negación de q mir mira tengo una es como esto es p entonces q y q entonces p eso no es la definición de Qué es p entonces q y q entonces p bicondicional chicos
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sería negación de q si solo s negación de p pero por mentalmente que me has dicho esto se cumple la propiedad comutativa Entonces sería negación de p si solo s negación de q partir de aquí llegado Esto está bien
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chicos ya profe lo voy a aplicar ya quieren aplicarlo problema de examen de admisión qué año 2019 2018 vo a poner 2019 ya bueno
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eh la siguiente proposición dice que si a pertenece a los irracionales sí solo s B pertenece a los irracionales ya vamos con la solución ya a ver Imagínate que esta pregunta depende de
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tu ingreso qué harías como ella te dejó ya ya 1 + a + 1 sobre B por el método de carita feliz a+ B sobre a por B no no es
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así B + a por feliz chicos ya Y esto es un entonces tengo que a + b es ig a a b ya entonces Ah pero acá Qué pasó un error de la secretaria la secretaria ya
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verdadero entonces la primera es verdadera vamos con la segunda Sí así n más [Aplausos] chiquito Ya ahora viene el problema el siguiente es el detalle a ver te
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pregunto cómo se escribe un número irracional en general en general raíz cuadrada de X No no es raíz
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cúbica cómo lo escrib No hay forma no no hay chicos no no hay ahora qué hacemos lo que hacían los chicos y eso me lo han comentado dar valores valores razada y Sala ya pero eso buo de cierta forma
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puede ser en examen misión todo vale no pero ya pues estamos en clase cómo lo formalizamos Esta es la
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clave claro la niego la voy a negar y la sigo negando ya entonces la negación de él Qué quiere decir que a no pertenece a
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los irracionales Entonces dónde está en los racionales muy bien de forma similar ella Claro porque si es racional tú ya
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sabes qué forma tiene un racional lo hemos visto al principio de clase Entonces vamos a hacer voy a partir de que es racional y llegar que va racional a ver acompañame si a se escribe como m sobre n y es racional cómo es y
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n enteros y cómo lo de abajo diferente de cer ya A ver dame una manito tengo que 1 sobre a + 1 sobre es ig 1 1 sobre a sería n sobre M + 1 sobre
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B = 1 ya a ver cuánto vale B 1 - n sobre m saldría m - n saldría arriba m - n abajo no y allí arriba qué
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tengo m confirmen Sí ya pero si m y n es entero é es entero cómo es lo de abajo también
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entero división de dos enteros qué te da un número entero racional Ya ve racional hemos partido de que racional llegamos que B racional ahí
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está la ida profe y cómo es el regreso lo mismo pones acá B haces el mismo cálculo y acá sería a también es racional Y esto es un s solo s por lo tanto esto es
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verdadero ahora acá hay algo que está escondido qué está escondido hay algo que no hemos restringido claro esto podría ser cer0 si es cer0 cuánto vale m y n tiene
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que ser iguales si son iguales cuánto vale a 1 y si a vale 1 1 ent 1 1 pasa a restar 1 sobre B qué tiene que ser cero 1 sobre B puede ser cero no Entonces no
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puede ser distinto de cero nunca va por ser cero Ahí está chicos ya a ver terminemos la teoría y comenzamos con Los problemas son 15 problemas ya nos falta una observación más y ya está ya la observación más que
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todo es para el enfoque de la disyunción fuerte observación c voy a ingresar ya en esta parte queé me quiere decir eh Ya si se dan cuenta que he presentado varias propiedades de la condición la bicondicional de cómo se llaman
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etcétera Pero la dición fuerte no hemos hablado mucho de él vamos a comentar que la disyunción fuerte cumple la propiedad de comutativa cumple la propiedad asociativa también cumple la
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propiedad eh la propiedad muy similar a la que está acá Aquí la propiedad 3 esa propiedad 3 llevándolo en términos de disyunción fuerte sería p disyunción fuerte q
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equivalente a la negación de P y unción fuerte negación de q Ahí está también cumple algunas propiedades que estaba escribiéndolo en la después de la tabla de verdad por ejemplo p disyunción fuerte p eso
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sería falso si escribo p disyunción fuerte falso eso es p cómo te vas a recordar acá una Pita pues no p por acá fals por acá p disyunción fuerte la negación de p
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esto es verdadero y p disyunción fuerte verdadero esto es negación de p Esto va de esta forma no para recordarse muy bien chicos hasta aquí sería la teoría
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ahora Comencemos con la lista de ejercicios que ya tienen el material en su escritorio son 15 problemas ya el problema uno qué clave le salió no le sale la
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B ya B lo hacemos ya problema Un vamos con el problema Un el problema Un dice p poquito q es equivalente a q y
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p entonces negación de P y negación de q ya bueno no veo otra forma que aplicar la definición de condicional la definición de condicional qué me quiere decir acá sería negación de q y p o lo
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de la derecha negación de p aplicando Morgan jóvenes si nosotros aplicamos Morgan esto sería negación de q o negación de p está bien ya muy bien entonces observo lo siguiente miren
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dentro de esos eh de esta expresión lo que está acá Acá hay un o y Acá hay un o como hay un o puedo aplicar propiedad asociativa y conmutativa o sea puedo juntarlas como
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yo quiera puedo juntar convenientemente bueno dejarla relegado la negación de q o lo que está ahí lo que sobra ya I negación de q Pero mira o
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y esta expresión es lo mismo que está acá qué voy a aplicar absorción todo esto sería al final la negación de q nada más ya con ese detalle vamos a resolver
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los ítems primer ítem p coquito q y q según lo que tengo esta expresión sería la negación de q negación de q y q falso muy bien
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segundo es p o q coquito q entonces negación de q ya como la propiedad que nos dice est este conector bueno no s ador lógico lo que me
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interesa solamente lo de la derecha Porque si acá es q acá es negación de q lo que está a esta parte a la izquierda queda relegado Entonces esto que está acá pueden ponerte corazoncito trbo lo que tú quieras no interesa Al final todo esto queda
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como negación de él pues no negación de q entonces negación de q y este es un ejemplo de la tautología p entonces p eso es verdadero Ahí está
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chicos ya tercer y último em de ese problema u vamos vamos cómo sería el tercero dice Bueno tengo un montón de
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coquitos acá un coquito más p o p pero el mismo detalle lo que interesa es lo que está a la derecha niega él negación de p o p verdadero no Entonces al final sale falso verdadero verdadero la clave
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es la B de Bueno muy bien chicos qué tal hay alguna duda ya eh next question cuál salió la
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dos qué clave amor todos amor lo hacemos No sí ya ahí su compo dice que sí
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quiere ya vamos problema dos a ver el problema dice que p disyunción fuerte q es verdadero ya si en este caso me dan esta relación que eso es verdadero puedo decir que p q son diferentes toman
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distinto valor Estos son diferentes no puedo decir que uno es verdadero uno es falso uno es falso es verdadero no O sea de hecho que va a ser uno de esos dos casos pero no puedo decir específicamente cuál de ellos es
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pero que son diferentes lo son ya con eso debe salir el problema primer em r entonces ahí falta un paréntesis p o q ya Pero si son diferentes uno de ellos tiene que ser verdadero verdadero lo que
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fuese verdadero por eh condicional r entonces verdadero verdadero no quedamos eso una propiedad segundo p y q entonces t como estos son
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diferentes uno de ellos va a ser falso falso y lo que fuese falso falso entonces T verdadero Porque el único caso que es falso cuando es verdadero entonces falso es falso verdadero Entonces eso lo
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resaltado en clase tercer y último ítem a ver p Si solo si q entonces negación de T como son diferentes en lación en la bicondicional cuando son diferentes esto
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es falso falso entonces lo que fuese verdadero Entonces todos son verdaderos la clave es la a de Amor el problema 3 qué le
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salió la clave c quieren que lo haga Sí ya el cuarto qué clave salió el número cu
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que me graba Oye vamos a comer ya okay la cuatro la d todos la d ya la cco la
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e beso ya la cuatro la 5 Cuál de días dos hago las c ya las C a ver pidan n
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más los problemas ya a ver me dan esta notación ya dice que significa ni p y ni q ya Qué significa ni p ni q negación no
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no p y no q ninguna de las dos ya ya con eso debe salir primer ítem qué es lo que tengo negación de P y q si solo s
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eh esta expresión bueno Qué me queda reemplazar nada más sería negación de P y q si solo s esta expresión es negación de P y negación de q ya chicos no me
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trae Bueno si le aplico la definición muy largo ya Caballero hay aplicar la propiedad que comenté niego él niego él negación del P y q si o no niego el Morgan p
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o q está bien ya qué hacemos ahí ya tiene dos opciones a hacer por leyes que ya por sí es muy muy grande el
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procedimiento y como son dos no más tablitas la vieja confiable ya okay Ya vamos chicos primero con el o verdadero
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verdadero verdadero falso ahora el I el I acá sería verdadero y después todas son falsas ya ahora sí vamos me falta el sí
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solo Sí vamos ayúdame Gracias verdadero falso falso verdadero pero el problema te dice que calcules Quiénes son tautologías tautologías siempre es
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verdadero pero acá es verdadero y falso es contingencia no es ella no es la elegida chicos vamos vamos hay que buscar
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dos vamos con tu segunda experiencia a ver vamos a ver si tienes suerte ya a ver reemplaza mi estimado jovencito negación de P y
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negación de q y acá le aplico la propiedad de Morgan negación de P y negación de q cómo son ellas dos son iguales es como p si solo s p Qué es
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eso falso no es verdadero ya chicos es verdadero siempre verdadero Entonces ella es tautología ya la última negación de p esta expresión s
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solo s dión fuerte ya reemplazo y la niego Ya esta expresión lo reemplazo y lo niego sería p o q no ya Bueno chicos
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si hao por leyes Uf el ciclo que viene termino ya verdadero verdadero verdadero falso falso verdadero falso falso ya A ver dame una manito gracias falso verdadero verdadero
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falso ahora acá con estos mismos resultados con el o verdadero verdadero verdadero falso ya estos dos el resultado acá del medio cómo sería falso verdadero verdadero falso falso
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verdadero No ya igual ya fue Pues por este es falso no es contingencia O sea la única que es tautología es elem dos Solo dos la B de
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boteli Ya solo para conocedores ya el problema 6 la B no es la d
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drogba si sale Dr ya lo hacemos No porque tn que dudan chicos no duden no duden los problemas más fáciles creo que
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son que dudan y lo más difícil si lo hace ya problema 6 ya el se dice Cuál o cuáles de las siguientes fórmulas son tautologías o sea lo mismo que lo anterior es la misma idea primer em a
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ver nos dice p o negación de q y q entonces p ya chicos esta expresión es absorción no en su segunda versión
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porque acá es q negación de q Y acá es o I lo que está fuera del paréntesis sería q I lo que no nada que ver con q sería p está bien ya qué vas a hacer
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ahí la definición de condicional no negación de é negación de q o negación de p op pero como acá es o o junta y dos qué
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te da verdadero chicos a ver voy a hacer un pasito más ya no me preocupan ya negación de q o negación de p o p ya aplicado
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asociativa esto es verdadero verdadero o lo que fuese verdadero está bien ya muy bien chicos muy bien dos a ver qué tengo acá p y q o q
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sí solo s q o y cuc que se repite bonito
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bonito V q s solo s q verdadero ya uno y dos ya la tercera Uy no Ah no hay clave todas Pues no ya eso
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no más champer que son ya a ver vamos a hacerlo a ver a ver a ver alcanza no alcanza esto es q in negación de P O ya
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acá es q q o q q no sería negación de q para abreviar un poquito ya a ver jóvenes ya o y negación de q q es
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absorción en su segundo forma no fuera del paréntesis negación de q o negación de p muy bien ya acá Cómo es qué sale acá es absorción también y o
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negación de q q la negación de l está acá Entonces sería lo que está fuera del paréntesis de acá sería negación de q y negación de p ya son iguales no no son
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iguales no son iguales vamos a negarla ya vamos a negarla por la propiedad negación de é y negación de negación de qué te da p o q y el otro Quién es p y q no p y q ya Y
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esto no lo hemos hecho acá hab un problema que hemos hecho p q p q Acá está Mira p q solo s p y q qué salió verdadero falso falso verdadero o sea esto sale verdadero falso falso verdadero entonces sale tautología No es
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contingencia las únicas que son tautología son uno y dos la clave es la d de Dinamarca deina deina el siguiente problema es bonito Ah qué clave le salió
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el problema siete ya nbdp complemento no sé qu aparecio ahí debe ser negación chicos no se adelantaron el tema una
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mezcla ya okay anyway ya chicos qué observo de esta expresión todo aparece disyunción fuerte si aparece disun fuerte puedo agrupar como yo quiera por qué Porque en
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disyunción fuerte satisface la propiedad asociativa y conmutativa entonces convenientemente junto a ellas dos junto las parejas y ellas
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también entonces p dición fuerte la negación de p después q dición fuerte la negación de q y queda solo dición de r Quién es p disyunción
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fuerte negación de p verdadero ya si esto es verdadero él también es verdadero verdadero disyunción fuerte verdadero falso falso
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disyunción fuerte r r se acabó todo se terminó la a de amor problema nueve qué le salió el nu sale beso Sí yo veo que la expresión es bien
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grande ah Cuando tú veas que la expresión Es demasiado grande el problema sale más rápido más bien pero tienes que visualizar si no visualizas vas a estar un buen tiempo aquí ya miren chicos miren miren ojo
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pestaña y Ceja y y y y y ahí está todo lo que está ahí en esta parte es con i profe y esto esto lo estoy juntando como un
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bloque si aparece y puedo aplicar propiedad asociativa y conmutativa convenientemente voy a juntar la negación de P y p y lo demás no sé que esté acá
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corazoncito le pongo chicos Cuánto es esto y lo que fuese falso falso o es expresión Entonces sería p entonces
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q la B de Bueno ya la 10 es comprensión lectora cuánto sale amor sí necesito ya la 11 cuánto sale la 11
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no le salió no ha llegado Ya vamos a hacerlo ya vamos a segir está
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pasando alegación de p o q entonces p y q ya dice que ella debe ser igual bueno Disculpen equivalente a p o q ya para ver que sean equivalentes tengo que partir de uno de los extremos y llegar a
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la otra expresión Cómo llego con leyes lógicas puedo partir de lo de la izquierda a ver aplicando la definición de condicional cómo sería negar no negación de la negación p o q o lo de la
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derecha p y q pero miren acá tenemos suerte o o profe y este este y lo mantengo como un bloque entonces juego con esta expresión sería p a ver Disculpen p o q o p y
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q Mira o I q Q qué es igual a él Ese es absorción no Qué sería el que se repite ahí ahí está q q q q
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p o q verdadero true ya next vamos vamos u ya ya va a ser la hora
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ya ya s no que salía no sear hasta las 3 de la tarde castigados ya a ver
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eh dónde voy derecha izquierda qué pare son buenos no derecha ya yo confío en ti Tú me
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dices derecha derecha por la por la definición de condicionales la negación de P y negación de q o r aplicando negación esto sería P E negación de p o q o r no está bien ya voy a juntar
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como acá es o o dejo el negación de p o q r tengo la negación de p o una proposición tiene la forma de la definición de condicional y esto sería p
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entonces toda esta parte q o r es lo que está acá verdadero el último p y q entonces r ya
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dice que hay que ver que esta es la negación de r entonces la negación de p o negación de q verdadero no porque esto es el a b y esta es la negación de p Y esta es
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la negación de a esa es su forma contrarrecíproca hemos dicho que es equivalente por lo tanto es verdadero En conclusión todos somos verdaderos el 12
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salió o no salió beso sí sale beso ya quieren ver cómo sale ya problema 12 ya qué me dice alfa beta y gatma son fórmulas lógicas o sea
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pueden ser tat olías contradicción y contingencia indica el valor de verdad de lo siguiente si Beta es una contradicción entonces Alfa es equivalente Alfa o Beta ya primer it si Beta es una contradicción nos
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quiere decir que Beta siempre es falso Entonces nos comenta que Alfa es equivalente Alfa o Beta Claro porque si es falso falso o Alfa es Alfa pues est es verdadero
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Ok segundo A ver dice si Alfa y Beta es equivalente a Alfa entonces Beta entonces Beta es tautología o sea Beta siempre es verdadero
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e tautología dice no tautología ya eso No necesariamente No por qué puede ser en este caso miren chicos
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imagina que esto siempre es verdadero y esto es falso o sea me refiero que esto es tautología Y esto es contradicción entonces verdadero y falso falso y si acá es verdadero y falso esto es falso o sea tienen los
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mismos valores de verdad pero no llegamos que Beta es una ttía llegamos que Beta es una contradicción no puedo asegurar que es tautología por lo tanto ella falla este caso era verdadero este caso es
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falso ya el último si Alfa y Beta es equivalente Alfa s solo s gatma entonces Beta es equivalente a gatma ahí debe decir gatma No ya a ver hay que jugar
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cómo jugamos ya digamos que ellas son falsas falsa y falsa falsa si F es falsa y yo quiero que sean equivalentes Debería ser
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ella falsa para que ella sea falsa cómo tiene que ser gatma verdadero si é es verdadero esto es falso son equivalentes pero digamos que bet y gma son iguales No acá es falso y acá es verdadero Entonces esto
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es falso la clave es verdadero falso falso la B de Bolivia ya la 13 qué le salió la 13 la d sí la d
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quiero hacer la 14 y la 15 que me parece más simpática A ver primero la 15 ya porque antes que el timbre el
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timbre problema 15 a ver dice p asterisco q es equivalente a la negación de p disyunción fuerte q y me piden simplicar
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toda esta expresión muy bien chicos eh sería la verdad bastante tedioso que esta definición que está acá lo reemplazo acá lo reemplazo acá le aplico la definición de condicional y después la definiciones de dición
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fuerte va a salir toda la pizarra Entonces qué hacemos profesor otro ciclo más no ya mucho ya ya este pq tengo que darle una forma adecuada ya lo que podríamos hacer acá
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es lo siguiente voy ap que voy a negar é y voy a negar el negar é y negar é se mantiene sería p disyunción fuerte negación de q y voy a aplicar que la disyunción fuerte cumple la propiedad conmutativa es decir que esto es la
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negación de q disyunción fuerte p pero esta expresión es similar a la que está acá solamente ha cambiado los roles p y q Entonces esto sería equivalente a quién q asterisco p sí
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pero chicos nos está diciendo que ellas dos son equivalentes es como que p entonces p según la clase de hoy p entonces p verdadero verdadero o lo que fuese
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verdadero verdadero yq q se dan cuenta cómo salen los problemas chicos no tiene que derivar integrar aplicar hospital nada es solo es cuestión de visualizar no se
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raye ya problema 14 a ver si nos da espacio ya a ver tomen foto la primera columna que lo voy a borrar a ver qué dice acá el texto q entonces s entonces p
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entonces r es falsa Ustedes deben saber por teoría que la el único caso que en la condicional es falso es verdadero entonces falso y acá aplico el mismo detalle Entonces es verdadero
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falso entonces tendríamos que p es verdadero r es falso profe Quién es q y s I don't know no sabemos
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chicos y cómo lo calculo profe con ese dato debería salir el ejercicio ten fe con fe chicos con fe sí se puede ya vamos vamos vamos primer
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ítem negación de la negación de s y q entonces r ya a ver chicos
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bueno parece o no parece eso no es ya a ver voy a aplicar la definición niégalo esto negación de esto sería negación de s y q no o r ya pero esto no
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es lo que está ahí muy en el fondo eso no no he aplicado definición de condicional la negación del Acá está claro Ah pensaban que hab negado esto Ah
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ya ya ya ya ya chicos ya pero ella no es conocida sí es conocida chicos Ah ya Quién es quién es ella Ella no es la negación de q o s está bien por la definición de
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condicional ya pero esto si absorbo como c negación de q o s negación de q o s pero ella quién es me has dicho es verdadero Entonces esto
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es falso falso o r r no r ya y en el problema te dice ah pero r Quién es falso Ah ya como r es falso esto es falso ya muy bien la
25:18
primera es falsa segundo r entonces c i p con esta expresión Ya me han dicho que r es falso ya con eso me ayudo si es falso entonces lo que fuese verdadero no
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verdadero y lo que fuese esto sería la misma expresión p lo de acá ya pero quién es p verdadero y esto es falso esto es verdadero ya salió la clave ya ya muy
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bien ya acá termin me me regreso a mi pokebola ya okay Está adelantado creo que el reloj no porque acá Dice 41 y ahí dice 45 y mi reloj
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Dice 41 ya okay okay okay Ya por dónde comienzo ya acá pues con Las falsas si ella es falsa falso y lo que
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fuese falso falso y todo esto es falso falso o ella gana negación de s entonces negación de q pero por la forma contrarrecíproca q s pero q Entonces
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es verdadero Ahí está chicos no sé tú irás ya nos falta un problema pues el 13 nos falta claro todo está
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cronometrado ahora sí pero igual debo acabar 3 minutos antes porque viene el profesor de letras o profesora ya chicos a ver qué
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haríamos ahí ya ahí ni por nada del mundo voy hacer eh definición no tablas no más pues tablas verdadero verdadero verdadero falso falso verdadero falso falso ya la condicional todos sabemos
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por cultura general que esto es verdadero falso verdadero verdadero y la disyunción fuerte falso verdadero verdadero falso ya ahora vamos con la bi A ver dame una manito falso falso
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verdadero falso y ahí en el problema que nos piden que calculemos que sea una Ah qué se puede afirmar est es contingencia contingencia ya a ver
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sec ya p entonces negación de q a ver q entonces negación de p ya chicos por contrarrecíproca esto que va a ser equivalente a entonces
28:25
negación de q ellos dos son iguales Si fuera así solo s sería verdadero pero como es disyunción fuerte falso no Y si es falso es contradicción contradicción ya una
28:42
más p entonces p oq o negación de p entonces negación de q ya qué hacemos ahí eh Eso sale verdadero o no Al
29:00
toque porque por la definición de condicional es negación de p o p o q y acá eh corazoncito juntando Mira puedo juntar gracias que es o o negación de p o p
29:17
verdadero verdadero o lo que fuese verdadero y con este verdadero todo es verdadero pues es una tautología ya chicos Entonces el problema me dice Cuál es la que puedo firmar tres tautología que efectivamente
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pu encontrar y el primero es contingencia la clave es la d ya Bueno chicos ya nos despedimos para el día miércoles a la misma hora y en el mismo canal ya